Question

6．已知双曲线C₁：$\frac{y^2}{m+3}$-$\frac{x^2}{m}$=1（m＞0）与双曲线C₂：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{16}$=1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（　　）

• A． 10
• B． 20
• C． 10$\sqrt{5}$
• D． 40

Answer 1

分析 求出两个双曲线的渐近线方程，根据渐近线方程相等求出m的值，然后求出对应的焦点坐标进行求解就．

解答 解：双曲线C₁：$\frac{y^2}{m+3}$-$\frac{x^2}{m}$=1（m＞0）的渐近线为y=±$\sqrt{\frac{m+3}{m}}$，
双曲线C₂：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{16}$=1的渐近线为y=±2x，
∵两个双曲线有相同的渐近线，
∴$\sqrt{\frac{m+3}{m}}$=2，即$\frac{m+3}{m}$=4，得m=1，
则双曲线C₁：$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1，则对应的焦点坐标为E（0，$\sqrt{5}$），F（0，-$\sqrt{5}$），
双曲线C₂：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{16}$=1的焦点坐标为G（2$\sqrt{5}$，0），H（-2$\sqrt{5}$，0），
则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S_△GHE=2×$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\sqrt{5}$=20，
故选：B

点评 本题主要考查四边形面积的计算，根据双曲线的性质，结合双曲线渐近线相同求出m的值是解决本题的关键．