Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣ =b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵acosC﹣ =b，

∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣ sinC=sinB．

又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinAcosC﹣ sinC=sinAcosC+cosAsinC，

化简得﹣ sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣

∵A∈（0，π），∴A=

（2）解：∵A= ，a=1，

∴根据正弦定理 ，可得b= = = sinB，同理可得c= sinC，

因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+ sinB+ sinC

=1+ [sinB+sin（ ﹣B）]=1+ [sinB+（ cosB﹣ sinB）]

=1+ （ sinB+ cosB）=1+ sin（B+ ）．

∵B∈（0， ），得B+ ∈（ ， ）

∴sin（B+ ）∈（ ，1]，可得l=a+b+c=1+ sin（B+ ）∈（2，1+ ]

即△ABC的周长的取值范围为（2，1+ ]

【解析】（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣ sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣ ，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A= 且a=1利用正弦定理，算出b= sinB且c= sinC，结合C= ﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．