Question

1．（1）设函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）最高点D的坐标为（2，$\sqrt{2}$）．由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与x轴的交点为（6，0）．
求A，ω和φ的值；
（2）当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，求函数f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的最高点求出A，求出函数的周期，即可求ω，利用最高点结合φ的范围求出它的值；
（2）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由$x∈（0，\frac{π}{2}）$，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），从而解得f（x）∈（-$\sqrt{3}$，2]．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）由题意最高点D（2，$\sqrt{2}$）可得：A=$\sqrt{2}$．
由题意$\frac{T}{4}$=6-2=4，T=16，T=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{8}$．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$+φ），
∵函数图象过最高点D（2，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{π}{8}$×2+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，可得：φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，结合范围：|φ|＜π，可解得：φ=$\frac{π}{4}$．
综上，A=$\sqrt{2}$，ω=$\frac{π}{8}$，φ=$\frac{π}{4}$．
（2）∵f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴可得：2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴解得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈（-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的图象和性质，属于基础题．