Question

10．已知甲袋内有大小相同的2个白球和4个黑球，乙袋内有大小相同的1个白球和4个黑球，现从甲、乙两个袋内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个白球的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“从甲袋内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙袋内取出的2个球均为黑球”为事件B．且AB独立，由独立事件的概率公式可得；
（Ⅱ）设“从甲袋内取出的2个球均为黑球；从乙袋内取出的2个球中，一个是白球，一个是黑球”为事件C；“从甲袋内取出的2个球中，1个是白球，1个是黑球；从乙袋内取出的2个球均为黑球”为事件D．由互斥事件的概率公式可得答案．

解答 解：（Ⅰ）设“从甲袋内取出的2个球均为黑球”的事件为A，“从乙袋内取出的2个球均为黑球”的事件为B．
由于事件A、B相互独立，且$P（A）=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{2}{5}$…（2分）
$P（B）=\frac{C_4^2}{C_5^2}=\frac{3}{5}$…（4分）
∴取出的4个球均为黑球的概率为$P（A•B）=P（A）•P（B）=\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$；    …（7分）
（Ⅱ）设“从甲袋内取出的2个球均为黑球；从乙袋内取出的2个球中，一个是白球，一个是黑球”为事件C；
“从甲袋内取出的2个球中，1个是白球，1个是黑球；从乙袋内取出的2个球均为黑球”为事件D．
由于事件C、D互斥，且$P（C）=\frac{C_4^2}{C_6^2}•\frac{C_4^1}{C_5^2}=\frac{4}{25}$，…（10分）
$P（D）=\frac{C_2^1•C_4^1}{C_6^2}•\frac{C_4^2}{C_5^2}=\frac{24}{75}$…（13分）
∴取出的4个球中恰有一个白球的概率为$P（C+D）=P（C）+P（D）=\frac{4}{25}+\frac{24}{75}=\frac{12}{25}$…（14分）

点评 本题考查随机事件的互斥与独立，理清事件与事件的关系是解决问题的关键，属中档题．