Question

18．若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在区间（3，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． a≤3
• B． 2＜a≤3
• C． a＞2
• D． a＜2

Answer 1

分析 解法一：若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在区间（3，+∞）上是减函数，则g′（x）≤0且a≠2在区间（3，+∞）上恒成立，由此可得a的取值范围．
解法二：利用分离常数法，将函数的解析式化为反比例型函数，借助反比例型函数的图象和性质，可得满足条件的a的取值范围．

解答 解法一：若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在区间（3，+∞）上是减函数，
则g′（x）≤0且a≠2在区间（3，+∞）上恒成立，
即$\frac{2-a}{（x-a）^{2}}$≤0且a≠2在区间（3，+∞）上恒成立，
解得：2＜a≤3，
解法二：g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$=$\frac{a-2}{x-a}+1$的图象，
是由函数y=$\frac{a-2}{x}$的图象向右平移a个单位，再向上平移1个单位得到的，
当a-2＞0时，d（-∞，a）和（a，+∞）均为减函数，
当a-2＜0时，d（-∞，a）和（a，+∞）均为增函数，
若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在区间（3，+∞）上是减函数，
则a-2＞0且（3，+∞）⊆（a，+∞），
解得：2＜a≤3，
故选：B

点评 函数在开区间上的单调增可转化成其导函数恒大于等于0，单调减可转化成其导函数恒小于等于0，属于基础题．