Question

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{a_n}满足a_n＞0，且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的前n项和为Sn，求

lim

n→∞

Sn.

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）是偶函数判断f（-x）=f（x），把函数解析式代入求得f（x）=3x²+1，根据g（x）是奇函数求得c，则g（x）的解析式可得．代入f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1中，整理得

an+1

an

=

2

3

.进而判断出数列{a_n}是以1为首项，

2

3

为公比的等比数列，进而求得数列的通项公式．
（2）利用等比数列的求和公式根据（1）中的通项公式求得前n项和的极限值．

解答：解：（1）∵f（x）=3x²+bx+1是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即3（-x）²+b（-x）+1=3x²+bx+1，b=0．
∴f（x）=3x²+1．
∵g（x）=5x+c是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即5（-x）+c=-（5x+c），c=0．
∴g（x）=5x．
f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=3（a_n+a_n+1）²+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1．
∴3a_n+1²+a_na_n+1-2a_n²=0．
∴(3an+1-2an)(an+1+an)=0．∴

an+1

an

=

2

3

.
∴数列{a_n}是以1为首项，

2

3

为公比的等比数列，
∴的通项公式为an=(

2

3

)n-1.
（2）由（I）可求得Sn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3-3(

2

3

)n．∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[3-3(

2

3

)n]=3.

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．考查了学生对数列基础知识的掌握．