Question

若正数x，y满足x+y=1，且

1

x

+

a

y

≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，则正数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质可得

1

x

+

a

y

=（x+y）(

1

x

+

a

y

)=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，由于

1

x

+

a

y

≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，可得4≤(

1

x

+

a

y

)min，解出即可．

解答： 解：∵正数x，y满足x+y=1，
∴

1

x

+

a

y

=（x+y）(

1

x

+

a

y

)=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，当且仅当y=

a

x时取等号．
∵

1

x

+

a

y

≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，
∴1+a+2

a

≥4，
化为(

a

)2+2

a

-3≥0，即(

a

+3)(

a

-1)≥0
解得a≥1．
∴正数a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．