Question

已知f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0，f（2）=3．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设函数g（x）=f（x）-mx，若g（x）在区间[-2，+∞）上是单调递减的，求m的取值范围；
（3）定义：“若对于任意函数，有x∈[a，b]时，h（x）∈[a，b]，则称h（x）的保值区间，”本题中，求f（x）的保值区间．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用代入法，求出k，即可得到解析式；
（2）由对称轴和区间的关系，即可得到m的范围；
（3）令f（x）=x，结合函数的单调性，即可得到保值区间．

解答： 解：（1）f（x）=kx²+（3+k）x+3，
代入f（2）=3得4k+2（3+k）+3=3，即k=-1，
则f（x）=-x²+2x+3；
（2）g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，
已知g（x）在区间[-2，+∞）单调递减，
则g（x）的对称轴x=-

2-m

-2

≤-2，
解得，m≥6；
（3）由f（x）=x也即-x²+2x+3=x，
解得x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

，
由f（x）的单调性可知，
f（x）的保值区间为（-∞，

1- 13

2

]和[

1+ 13

2

，+∞）．

点评：本题考查二次函数的解析式和单调性及运用，考查新定义以及运用，考查运算能力，属于中档题．