Question

18．已知集合A={x|m＜x＜2m}，B={x|y=$\sqrt{4-x}$}，C={y|y=2x-$\sqrt{x-1}$}．
（1）若log₃m=1，求A∪B；
（2）若A∩（B∩C）≠∅，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出A={x|3＜x＜6}，B={x|x≤4}，由此能求出A∪B．
（2）先求出$C=[\frac{15}{8}，+∞）$，从而$B∩C=[\frac{15}{8}，4]$，再由A∩（B∩C）≠∅，能求出m的取值范围．

解答 解：（1）若log₃m=1，∴m=3．…（1分）
∴A={x|3＜x＜6}，又B={x|x≤4}，
∴A∪B={x|x＜6}．…（4分）
（2）令$\sqrt{x-1}=t（t≥0）$，∴x=t²+1．…（5分）
∴$y=2x-\sqrt{x-1}=2（{t^2}+1）-t=2{（t-\frac{1}{4}）^2}+\frac{15}{8}$，…（7分）
当$t=\frac{1}{4}$，即$x=\frac{17}{16}$时，$y=2x-\sqrt{x-1}$取得最小值，且最小值为$\frac{15}{8}$．…（8分）
故$C=[\frac{15}{8}，+∞）$，从而$B∩C=[\frac{15}{8}，4]$，…（9分）
∵A∩（B∩C）≠∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}m＜4\\ 2m＞\frac{15}{8}\\ m＜2m\end{array}\right.⇒m∈（\frac{15}{16}，4）$．
∴m的取值范围是（$\frac{15}{16}$，4]．…（12分）

点评 本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集的性质的合理运用．