Question

已知直线，圆．
（1）求直线被圆所截得的弦长；
（2）如果过点的直线与直线垂直，与圆心在直线上的圆相切，圆被直线分成两段圆弧，且弧长之比为，求圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）或.

试题分析：（1）由题意可以通过求弦心距进而求得弦长，而弦心距即为圆心到直线的距离：，再由垂径定理，弦长为；（2）根据题意可求得：，由圆心在直线上，可设，从而根据与圆相切可知圆的半径，再由圆被直线分成两段圆弧，且弧长之比为，可知两段弧的度数分为为，，从而直线截圆的弦的弦心距为半径的一半，即有关于的方程：
，解得或，从而可得圆的方程为：
或.
试题解析：（1）直线被圆所截得弦弦心距为，∴弦长为；       3分
∵过点且与垂直，∴：，       3分
∵圆心在直线上，∴设，∵与圆相切，∴，
设与圆交于，两点，∵圆被直线分成两段圆弧，且弧长之比为，∴，
即可得的弦心距，解得或，
∴圆的方程为：或．        6分