Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-lnx，a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对?x₁，x₂∈[1，e]，总有|f（x₁）-f（x₂）≤3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由此根据a的取值范围分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）问题转化为x∈[1，e]时，f（x）_max-f（x）_min≤3恒成立，通过讨论a的范围，求出函数的最大值和最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）x＞0，f′（x）=ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-1}{x}$，
若a≤0，则f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）的减区间为（0，+∞），
若a＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{\sqrt{a}}{a}$（x=-$\frac{\sqrt{a}}{a}$舍去）．
当x∈（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；
当x∈（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间为（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）．
（Ⅱ）对?x₁，x₂∈[1，e]，总有|f（x₁）-f（x₂）≤3成立，
?x∈[1，e]时，f（x）_max-f（x）_min≤3恒成立，
①a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f（x）在区间[1，e]递减，
故f（x）_max=f（1）=$\frac{a}{2}$，f（x）_min=f（e）=$\frac{{e}^{2}}{2}$a-1，
令f（x）_max-f（x）_min=$\frac{a}{2}$-$\frac{{e}^{2}}{2}$a+1≤3，
解得：a$≥\frac{4}{1{-e}^{2}}$，
故$\frac{4}{1{-e}^{2}}$≤a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$，符合题意；
②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上递增，
故f（x）_max=f（e）=$\frac{{e}^{2}}{2}$a-1，f（x）_min=f（1）=$\frac{a}{2}$，
令f（x）_max-f（x）_min=$\frac{{e}^{2}}{2}$a-1-$\frac{a}{2}$≤3，解得：a≤$\frac{8}{{e}^{2}-1}$，
故1≤a≤$\frac{8}{{e}^{2}-1}$符合题意；
③$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜1时，函数f（x）在[1，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，e]递增，
∴f（x）min=f（$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$lna，又f（e）-f（1）=$\frac{1}{2}$（e²-1）a-1，
当$\frac{2}{{e}^{2}-1}$≤a＜1时，f（x）_max=f（e）=$\frac{{e}^{2}}{2}$•a-1，
令f（x）_max-f（x）_min=$\frac{{e}^{2}}{2}$•a-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lna≤3，即e²a-lna≤9，
设g（a）=e²a-lna，则g′（a）=$\frac{{e}^{2}a-1}{a}$＞0恒成立，
故函数g（a）在区间[$\frac{2}{{e}^{2}-1}$，1]上递增，
而g（a）_max=g（1）=e²＜9，
故a∈[$\frac{2}{{e}^{2}-1}$，1]时，不等式e²a-lna≤9恒成立，
故$\frac{2}{{e}^{2}-1}$≤a＜1符合题意；
当$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{2}{{e}^{2}-1}$时，f（x）_max=f（1）=$\frac{a}{2}$，
令f（x）_max-f（x）_min=$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lna≤3，
即a-lna≤7，设h（a）=a-lna，
则h′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$＜0恒成立，
故函数h（a）在区间[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2}{{e}^{2}-1}$]递减，
故h（x）_max=h（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2＜7，
故$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{2}{{e}^{2}-1}$时，a-lna≤7恒成立，
故$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{2}{{e}^{2}-1}$符合题意，
综上，a的范围是[$\frac{4}{1{-e}^{2}}$，$\frac{8}{{e}^{2}-1}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．