【题目】如图,在四棱锥 中,侧面 底面 ,侧棱 ,底面 为直角梯形,其中 为 中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值;
(3)线段 上是否存在 ,使得它到平面 的距离为 ?若存在,求出 的值.
【答案】
(1)证明:在 中 为 中点,所以 .
又侧面 底面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)解:连接 ,
在直角梯形 中, ,有 且 ,所以四边形 是平行四边形,所以 .
由(1)知 为锐角,
所以 是异面直线 与 所成的角,
因为 ,在 中, ,所以 ,
在 中,因为 ,所以 ,
在 中, ,所以 ,
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
(3)解:假设存在点 ,使得它到平面的距离为 .
设 ,则 ,由(2)得 ,
在 中, ,
所以 ,
由 得 ,所以存在点 满足题意,此时
【解析】(1)由线面垂直的判定可知,只要证明直线PO垂直平面ABCD中两条相交线即可证明。
(2)根据题意可知,将两条异面直线PB、CD平移到同一个起点B,得到的锐角或直角就是所形成的角,再用余弦定理即可求出。
(3)根据V P D Q C = V Q P C D的性质,即可求出。
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【题目】已知函数f(x)= [cos(2x+ )+4sinxcosx]+1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)令g(x)=af(x)+b,若函数g(x)在区间[﹣ , ]上的值域为[﹣1.1],求a+b的值.
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【题目】已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;
(2)直线 关于直线l对称的直线l2的方程;
(3)直线l关于点(1,1)对称的直线方程.
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【题目】设集合A={x|x2+2x﹣3<0},集合B={x||x+a|<1}.
(1)若a=3,求A∪B;
(2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】盒中有标号分别为0,1,2,3的球各一个,这些球除标号外均相同.从盒中依次摸取两个球(每次一球,摸出后不放回),记为一次游戏.规定:摸出的两个球上的标号之和等于5为一等奖,等于4为二等奖,等于其它为三等奖.
(1)求完成一次游戏获三等奖的概率;
(2)记完成一次游戏获奖的等级为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
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