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【题目】如图,在四棱锥 中,侧面 底面 ,侧棱 ,底面 为直角梯形,其中 中点.

(1)求证: 平面
(2)求异面直线 所成角的余弦值;
(3)线段 上是否存在 ,使得它到平面 的距离为 ?若存在,求出 的值.

【答案】
(1)证明:在 中点,所以 .
又侧面 底面 ,平面 平面 平面
所以 平面 .
(2)解:连接

在直角梯形 中, ,有 ,所以四边形 是平行四边形,所以 .
由(1)知 为锐角,
所以 是异面直线 所成的角,
因为 ,在 中, ,所以
中,因为 ,所以
中, ,所以
所以异面直线 所成的角的余弦值为 .
(3)解:假设存在点 ,使得它到平面的距离为 .
,则 ,由(2)得
中,
所以
,所以存在点 满足题意,此时
【解析】(1)由线面垂直的判定可知,只要证明直线PO垂直平面ABCD中两条相交线即可证明。
(2)根据题意可知,将两条异面直线PB、CD平移到同一个起点B,得到的锐角或直角就是所形成的角,再用余弦定理即可求出。
(3)根据V P D Q C = V Q P C D的性质,即可求出。

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