Question

【题目】已知函数f(x)＝ln x－.

(1)试讨论f(x)在定义域上的单调性；

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且.分类讨论可得：当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.当a<0时，f(x)在(0，－a]上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数.

(2)由(1)可知： ，分类讨论：①若a≥－1，f(x)min＝f(1)，可得，不合题意；②若a≤－e，f(x)min＝f(e)，可得，不合题意；③若－e<a<－1，f(x)min＝f(－a)，可得，符合题意.

试题解析：

(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.

当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.

当a<0时，由f′(x)＝0得x＝－a，由f′(x)>0得，x>－a，由f′(x)<0得，x<－a，

∴当a<0时，f(x)在(0，－a]上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数.

(2)由(1)可知：f′(x)＝，

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去).

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，

此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).

③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，当1<x<－a时，f′(x)<0，

∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，

∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝a＝－.

综上可知：a＝－.