Question

8．设$\overrightarrow{a}$=2（sinx，1-$\sqrt{2}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1+$\sqrt{2}$cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期，当x∈[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{3}{8}$π]时，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简可得f（x）的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调增区间，再结合x∈[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{3}{8}$π]，得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sinxcosx 1-2cos²x=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（2）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得它的最小正周期为T=$\frac{2π}{|ω|}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
再结合x∈[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{3}{8}$π]，可得函数的增区间为[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．