Question

17．已知tanα=-$\frac{1}{2}$，求$\frac{1+2sin（π-α）cos（-2π-α）}{si{n}^{2}α-si{n}^{2}（\frac{5π}{2}-α）}$+$\frac{1}{3}$的值．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，平方差公式化简已知，结合tanα=-$\frac{1}{2}$即可计算得解．

解答 解：原式=$\frac{1+2sinαcosα}{sin2α-cos2α}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{3}$…（3分）
=$\frac{（sinα+cosα）^{2}}{（sinα-cosα）（sinα+cosα）}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+$\frac{1}{3}$…（5分）
=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$+$\frac{1}{3}$，…（7分）
又∵tanα=-$\frac{1}{2}$，
∴原式=0．…（8分）

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，平方差公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．