Question

19．对于正整数n，设曲线y=xⁿ（2-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺²-4．

Answer 1

分析 利用导数的几何意义求出切线方程为y=-2ⁿ（x-2），从而得到a_n=2ⁿ⁺¹，利用等比数列的求和公式能求出S_n．

解答 解：∵y=xⁿ（2-x），∴y'=2nx^n-1-（n+1）xⁿ，
∴曲线y=xⁿ（2-x）在x=2处的切线的斜率为k=n2ⁿ-（n+1）2ⁿ=-2ⁿ，
切点为（2，0），
∴切线方程为y=-2ⁿ（x-2），
令x=0得a_n=2ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺²-4，
故答案为：2ⁿ⁺²-4．

点评 考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力．