Question

9．已知函数f（x）=3^x，x∈[-1，1]，函数g（x）=[f（x）]²-2af（x）+3．
（Ⅰ）当a=0时，求函数g（x）的值域；
（Ⅱ）若函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的表达式；
（Ⅲ）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设t=3^x，则φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，φ（t）的对称轴为t=a，当a=0时，即可求出g（x）的值域；
（Ⅱ）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜$\frac{1}{3}$时，当$\frac{1}{3}≤a≤3$时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；
（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=3^x，x∈[-1，1]，∴${3}^{x}∈[\frac{1}{3}，3]$，设t=3^x，$t∈[\frac{1}{3}，3]$，
则φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，对称轴为t=a．
当a=0时，φ（t）=t²+3，$t∈[\frac{1}{3}，3]$，∴φ（t）∈[$\frac{28}{9}$，12]，
∴函数g（x）的值域是：[$\frac{28}{9}$，12]；
（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，
当a＜$\frac{1}{3}$时，y_min=h（a）=φ（$\frac{1}{3}$）=$\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}$；
当$\frac{1}{3}≤a≤3$时，y_min=h（a）=φ（a）=3-a²；
当a＞3时，y_min=h（a）=φ（3）=12-6a．
故$h（a）=\left\{\begin{array}{l}\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}（a＜\frac{1}{3}）\\ 3-{a^2}（\frac{1}{3}≤a≤3）\\ \\ 12-6a（a＞3）\end{array}\right.$，
（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵m＞n＞3，∴h（a）=12-6a，
∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．
又∵h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，
∴$\left\{\begin{array}{l}12-6m={n^2}\\ 12-6n={m^2}\end{array}\right.$，两式相减得6（m-n）=（m-n）•（m+n），
又∵m＞n＞3，∴m-n≠0，∴m+n=6，与m＞n＞3矛盾．
∴满足题意的m，n不存在．

点评 本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．