Question

17．已知定义域为R的偶函数f（x）的图象关于直线x=4对称，当x∈[0，4]时，f（x）可导且满足f′（x）＞2f（x），则有（　　）

• A． e²f（-15）＜f（-6），e²f（-11）＜f（-20）
• B． e²f（-15）＞f（-6），e²f（-11）＞f（-20）
• C． e²f（-15）＜f（-6），e²f（-11）＞f（-20）
• D． e²f（-15）＞f（-6），e²f（-11）＜f（-20）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性求出函数f（x）是周期为8的周期函数，构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，判断函数的单调性进行比较即可．

解答 解：设h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，则h′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{2x}-f（x）{e}^{2x}•2}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2f（x）}{{e}^{x}}$．
∵当x∈[0，4]时，f（x）可导且满足f′（x）＞2f（x），
∴此时h′（x）＞0，即函数h（x）此时单调递增．
∵定义域为R的偶函数f（x）的图象关于直线x=4对称，
∴f（4+x）=f（4-x）=f（x-4），
即f（x+8）=f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（-15）=f（-16+1）=f（1），f（-6）=f（2），
f（-11）=f（-8-3）=f（-3）=f（3），f（-20）=f（-16-4）=f（-4）=f（4），
由h（2）＞h（1），即$\frac{f（2）}{{e}^{4}}＞\frac{f（1）}{{e}^{2}}$，则f（2）＞e²f（1），即f（-6）＞e²f（-15），
由h（4）＞h（3），即$\frac{f（4）}{{e}^{8}}$＞$\frac{f（3）}{{e}^{6}}$，则f（4）＞e²f（3），即f（-20）＞e²f（-11），
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和对称性的性质判断函数的周期性，利用构造法构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．