Question

19．若z²+z+1=0，则z²⁰⁰²+z²⁰⁰³+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶等于（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． -$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i
• D． -$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{2}$i

Answer 1

分析 求出z，根据z的特点计算z²⁰⁰¹和z²⁰⁰⁴．

解答 解：设z=a+bi，a，b∈R，则z²+z+1=a²-b²+a+（2ab+b）i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}+a=0}\\{2ab+b=0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{2}$，b=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，∴z=-$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{2}i$，∴z³=1．
∵z²+z+1=0，∴z+z²=-1，
∴z²⁰⁰²+z²⁰⁰³+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶=z²⁰⁰¹（z+z²）+z²⁰⁰⁴（z+z²）=-z²⁰⁰¹-z²⁰⁰⁴．
∵z³=1，∴z²⁰⁰¹=z²⁰⁰⁴=z³=1，
∴z²⁰⁰²+z²⁰⁰³+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶=-1-1=-2．
故选：B．

点评 本题考查了复数的运算，复数的性质应用，观察z³=1是解题关键．