Question

12．数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}-9}}{{{a_n}-4}}（{n∈{N^+}}）$，且a₁=2．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值；
（2）归纳猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）设${b_n}=（{{a_{n+1}}-3}）（{{a_n}-3}）（{n∈{N^+}}）$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}-9}}{{{a_n}-4}}（{n∈{N^+}}）$，分别令n=1，2，3，即可得出；
（2）由（1）猜想：a_n=3-$\frac{1}{n}$，利用数学归纳法证明即可，
（3）先求出b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，裂项求和即可．

解答 解：（1）{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}-9}}{{{a_n}-4}}（{n∈{N^+}}）$，且a₁=2，
∴a₂=$\frac{2{a}_{1}-9}{{a}_{2}-4}$=$\frac{2×2-9}{2-4}$=$\frac{5}{2}$，a₃=$\frac{2×\frac{5}{2}-9}{\frac{5}{2}-4}$=$\frac{8}{3}$，a₃=$\frac{2×\frac{8}{3}-9}{\frac{8}{3}-4}$=$\frac{11}{4}$，
（2）可以猜想a_n=3-$\frac{1}{n}$，
证明如下：①当n=1时，猜想当然显然成立；
②假设当n=k（k∈N⁺）时猜想成立，
即a_k=3-$\frac{1}{k}$，则a_k+1=$\frac{2{a}_{k}-9}{{a}_{k}-4}$=$\frac{-3-\frac{2}{k}}{-1-\frac{1}{k}}$=$\frac{3k+2}{k+1}$=3-$\frac{1}{k+1}$，
故当然n=k+1时猜想成立，
由①②可知，猜想成立；
（3）由（2）知b_n=$\frac{1}{n+1}•\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数学归纳法、递推公式、数列的通项公式，考查了猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．