Question

7．直线y=kx-1与曲线2x²-y²=2有且仅有一个公共点，则k=±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，讨论直线与渐近线平行和直线与双曲线相切的条件，解方程即可得到所求值．

解答 解：双曲线2x²-y²=2的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，
当直线y=kx-1与渐近线平行时，即k=±$\sqrt{2}$时，
与双曲线有且仅有一个公共点；
当直线y=kx-1与双曲线相切，与双曲线有且仅有一个公共点．
代入双曲线的方程，可得（2-k²）x²+2kx-3=0，
由判别式4k²+12（2-k²）=0，
解得k=±$\sqrt{3}$，
综上可得，k=±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{3}$．
故答案为：±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用判别式为0，同时注意双曲线的渐近线平行的直线，属于中档题和易错题．