Question

5．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．

Answer 1

分析 （1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；
（2）记$p=\frac{2-sinx}{cosx}$，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得$y=2×\frac{15}{cosx}+15-15tanx$，
即$y=15+15×\frac{2-sinx}{cosx}$（其中$0≤x≤\frac{π}{4}$）-----------------------------------------------（6分）
（2）记$p=\frac{2-sinx}{cosx}$，则sinx+pcosx=2，则有$|{\frac{2}{{\sqrt{1+{p^2}}}}}|≤1$，
解得$p≥\sqrt{3}$或$p≤-\sqrt{3}$------------------------------------------（10分）
由于y＞0，所以，当$x=\frac{π}{6}$，即点O在CD中垂线上离点P距离为$（{15-\frac{{15\sqrt{3}}}{3}}）$km处，y取得最小值$15+15\sqrt{3}≈40.98$（km）．-------------------------------------------------（14分）

点评 本题主要考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力．解决这类问题的关键在于把文字语言转换为数学符号，用数学知识解题．