Question

【题目】已知函数.

（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；

（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先写出函数的定义域，对函数求导，是定义域上的增函数，转化为，即恒成立，从而求出的取值范围；

（2）将表示为关于的函数，由且，得，设方程，即得两根为，，且，利用韦达定理可得，，由，从而得到，根据题意可得，由得，将其代入上边式子可得，之后令，则，从而有，，则，利用导数研究函数可得结果.

（1）的定义域为，

∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立.

则恒成立.

∴ ∵ ∴

所以，的取值范围是

（2）将表示为关于的函数，

由且，得

设方程，即得两根为，，且.

则，，∵，

∴ ∴

∵

∴代入得

令，则，得，，则

∴而且上递减，从而

即 ∴.