【题目】设函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)若,
,求证:
无零点.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)先求导,根据的正负解得x的范围,得出f(x)的单调性;
(2)令h(x)为g′(x)的分子部分,设x0为h(x)的零点,求出g(x)的最小值g(x0),根据x0的性质和基本不等式得出g(x0)关于a的函数m(a),再根据m(a)的单调性求出m(a)的最小值即可得出结论.
(1)若,则
,
.
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增.
的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)由可知,
,
当时,
,显然
没有零点;
当时,设
,
,在
单调递增,
又h(0)=﹣a<0,h(2)=2e﹣a>0,
∴h(x)在(0,2)上存在唯一一个零点,不妨设为x0,则x0a,
∴当x∈(0,x0)时,h(x)<0,即g′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,
即g′(x)>0,
∴g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
∴g(x)的最小值为g(x0)alnx0,
∵x0a,∴
﹣1
,两边取对数可得x0﹣1=lna﹣lnx0,即lnx0=lna+1﹣x0,
∴g(x0)a(lna+1﹣x0)
ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a=a﹣alna,(当且仅当x0=1时取等号),
令m(a)=a﹣alna,则m′(a)=﹣lna,
∴当a∈(0,1)时,m′(a)>0,当a∈(1,e]时,m′(a)<0,
∴m(a)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减.
∴当0<a≤e时,m(a)≥0,当且仅当a=e时取等号,
由x0a可知当a=1时,x0=1,故当a=e时,x0≠1,故g(x0)>m(a)≥0,
∴g(x0)>0.
∴当0≤a≤e时,g(x)没有零点.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为中心,以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M(2,1),N.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)经过点M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆C相交于异于M点的A,B两点,当△AMB面积取得最大值时,求直线AB的方程.
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【题目】某社区有居民人,为了迎接第十一个“全民健身日”的到来,居委会从中随机抽取了
名居民,统计了他们本月参加户外运动时间(单位:小时)的数据,并将数据进行整理,分为
组:
,
,
,
,
,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)试估计该社区所有居民中,本月户外运动时间不小于小时的人数;
(Ⅱ)已知这名居民中恰有
名女性的户外运动时间在
,现从户外运动时间在
的样本对应的居民中随机抽取
人,求至少抽到
名女性的概率.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量=λ
+μ
,则λ+μ的最小值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知数列{an}为等差数列,a7﹣a2=10,且a1,a6,a21依次成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sn
,求n的值.
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【题目】已知点在抛物线
:
上.
(1)求的方程;
(2)过上的任一点
(
与
的顶点不重合)作
轴于
,试求线段
中点的轨迹方程;
(3)在上任取不同于点
的点
,直线
与直线
交于点
,过点
作
轴的垂线交抛物线
于点
,求
面积的最小值.
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【题目】动圆与圆
相外切且与
轴相切,则动圆
的圆心的轨迹记
,
(1)求轨迹的方程;
(2)定点到轨迹(1)
上任意一点的距离
的最小值;
(3)经过定点的直线
,试分析直线
与轨迹
的公共点个数,并指明相应的直线
的斜率
是否存在,若存在求
的取值或取值范围情况.
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