Question

【题目】设函数，其中为自然对数的底数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若，，求证：无零点.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先求导，根据的正负解得x的范围，得出f（x）的单调性；

（2）令h（x）为g′（x）的分子部分，设x0为h（x）的零点，求出g（x）的最小值g（x0），根据x0的性质和基本不等式得出g（x0）关于a的函数m（a），再根据m（a）的单调性求出m（a）的最小值即可得出结论．

（1）若，则，

.

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由可知，，

当时，，显然没有零点；

当时，设，，在单调递增，

又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，

∴h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0a，

∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，

即g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

∴g（x）的最小值为g（x0）alnx0，

∵x0a，∴﹣1，两边取对数可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，

∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（当且仅当x0＝1时取等号），

令m（a）＝a﹣alna，则m′（a）＝﹣lna，

∴当a∈（0，1）时，m′（a）＞0，当a∈（1，e]时，m′（a）＜0，

∴m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减．

∴当0＜a≤e时，m（a）≥0，当且仅当a＝e时取等号，

由x0a可知当a＝1时，x0＝1，故当a＝e时，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，

∴g（x0）＞0．

∴当0≤a≤e时，g（x）没有零点．