【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为中心,以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M(2,1),N.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)经过点M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆C相交于异于M点的A,B两点,当△AMB面积取得最大值时,求直线AB的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
(1)设椭圆C的方程为(
,
,
).
根据椭圆过两点,代入得到方程组,解得.
(2)由直线AM,BM,AB的斜率存在,故.设它们的斜率分别为,
,k.
设,
,直线AB的方程为
.联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,由
.即
. 即可解得
,或
.分别代入检验,再用弦长公式及点到直线的距离公式,表示出三角形的面积,利用基本不等式求最值.
解:(1)设椭圆C的方程为(
,
,
).
∵点和N
在椭圆C上,
∴.解得
.
∴椭圆C的标准方程为.
(2)∵点A,B为椭圆上异于M的两点,且直线AM,BM的倾斜角互补,
∴直线AM,BM,AB的斜率存在.设它们的斜率分别为,
,k.
设,
,直线AB的方程为
.
∴.
∴.
由,消去y,得
.
由,得
.
∴,
.
∴.
∴.
∴.
∴,或
.
∵点A,B为椭圆上异于M的两点,
∴当时,直线AB的方程为
,不合题意,舍去.
∴直线AB的斜率为.
∵,点M到直线AB的距离为
,
∴的面积为
.
当且仅当时,
的面积取得最大值,此时
.
∵,
满足
.
∴直线AB的方程为或
.
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【题目】已知椭圆C: 的右焦点为F(2,0),过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l不经过点P(0,b)且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为1,试判断直线 l是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.
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【题目】现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动,每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )
A.234B.152C.126D.108
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【题目】已知从甲地到乙地的公路里程约为240(单位:km).某汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度x(单位:)(
)的关系近似符合以下两种函数模型中的一种(假定速度大小恒定):①
,②
,经多次检验得到以下一组数据:
x | 0 | 40 | 60 | 120 |
Q | 0 | 20 |
(1)你认为哪一个是符合实际的函数模型,请说明理由;
(2)从甲地到乙地,这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少?
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【题目】已知三棱锥的体积为1.在侧棱
上取一点
,使
,然后在
上取一点
,使
,继续在
上取一点
,使
,……按上述步骤,依次得到点
,记三棱锥
的体积依次构成数列
,数列
的前
项和
.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)记,
为数列
的前
项和,若不等式
对一切
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】若实数满足
,则称
为
的不动点.已知函数
,其中,
、
为常数。
(1)若,求函数
的单调递增区间;
(2)若时,存在一个实数
,使得
既是
的不动点,又是
的极值点,求实数
的值;
(3)证明:不存在实数组,使得
互异的两个极值点均为不动点.
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【题目】2018年国庆黄金周旅游市场依旧火爆.一旅行社为某旅行团包机旅游,其中旅行社的包机费15000元,旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团人数不超过35人,飞机票每张800元;若旅行团人数多于35人,则给予如下优惠:每多1人,每张机票减少10元,但旅行团的人数最多不超过60人,记旅行团人数为,每个人的机票钱为y元.
(1)写出与
的关系式.
(2)求旅行社获得的利润的最大值.
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【题目】设函数f(x)的定义域为R.若存在与x无关的正常数M,使|f(x)|≤ M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为有界泛函.则函数:① f(x)=-3x,② f(x)=x2,③ f(x)=sin2x,④ f(x)=2x,⑤ f(x)=xcosx中,属于有界泛函的有____________.(填上所有正确的番号)
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【题目】下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形、半径为
的圆及等腰直角三角形构成,其中圆内切于正方形,等腰三角形的直角顶点与
的中点
重合,斜边在直线
上.已知
为
的中点,现将该图形绕直线
旋转一周,则阴影部分旋转后形成的几何体积为( )
A. B.
C.
D.
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