Question

7．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，当函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（　　）

• A． （0，6-$\sqrt{30}$）
• B． （6-$\sqrt{30}$，2$-\sqrt{2}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，6-$\sqrt{30}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，2-$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 画出函数y=f（x-1）的图象，可得y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．

解答 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，
∴函数y=f（x-1）的图象如下图所示：

y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$表示过（2，$\frac{1}{2}$）点斜率为k的直线，
由图可得：y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象最多有5个交点，
即函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）至多有5个零点，
当k=$\frac{1}{4}$时，直线y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$过原点，
此时y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象有4交点，即函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有4个零点；
当k=6-$\sqrt{30}$时，直线y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象抛物线部分相切，
此时y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象有4交点，即函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有4个零点；
故当函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，
k∈（$\frac{1}{4}$，6-$\sqrt{30}$），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，函数的图象，数形结合思想，难度中档．