Question

4．过点P（1，0）作抛物线y=$\sqrt{x-2}$的切线，求该切线与抛物线y=$\sqrt{x-2}$及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积．

Answer 1

分析 首先根据切线方程求得切线的斜率，并且求得切线方程，在根据积分求得，旋转体的体积．

解答 解：设切点坐标为（x₀，y₀）则${y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}-2}$
y=$\sqrt{x-2}$
$y′=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$
则切线方程为：$y-{y}_{0}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}（x-{x}_{0}）$
且切线通过点P（1，0）
∴代入上面方程，解得：x₀=3
切点坐标为（3，1）
切线方程：$y=\frac{1}{2}（x-1）$
切线与抛物线及x轴旋转一周所成旋转体的体积
$V={∫π}_{1}^{3}[\frac{1}{2}（x-1）]^{2}dx$-${π∫}_{2}^{3}（\sqrt{x-2}）^{2}dx$
=$\frac{π}{12}（\frac{x}{2}-\frac{1}{2}）^{3}{丨}_{1}^{3}$-$π\frac{（x-2）^{2}}{2}{丨}_{2}^{3}$
=$\frac{π}{6}$
故答案为$\frac{π}{6}$

点评 本题考查求切线方程，利用积分求旋转体的体积，属于中档题．