Question

9．椭圆E中心在原点，以抛物线y²=4x的焦点为其一个焦点，且E经点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），则椭圆短轴长为2．

Answer 1

分析 由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±1，0），从而设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，a＞0，又椭圆E经点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），由此能求出椭圆短轴长．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
椭圆E中心在原点，以抛物线y²=4x的焦点为其一个焦点，
∴所求椭圆的焦点坐标为（±1，0），
设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，a＞0，
∵椭圆E经点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9{a}^{2}-9}$=1，即9a⁴-26a²+16=0，
解得a²=2或a²=$\frac{8}{9}$（舍），
∴b²=2-1=1，b=1，
∴椭圆短轴长为2b=2．
故答案为：2．

点评 本题考查椭圆的短轴长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．