Question

14．已知F₁、F₂是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，$\frac{3}{2}$）时，△PF₁F₂的面积为$\frac{3}{2}$，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l₁，l₂，l，直线l与l₁，l₂分别交于点R，T．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；
（ii）求△RTM的面积最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由当P点坐标为（1，$\frac{3}{2}$）时，△PF₁F₂的面积为$\frac{3}{2}$，求出c=1，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（i）设直线l为：y=kx+m，与椭圆联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、椭圆对称性，向量数量积，结合已知条件能证明以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标．
（ii）由图形的对称性，取M为右焦点F₂（1，0），S_△RTM=S_{四边形ABTR}-S_△BDA=2（m+k），由此能求出△RTM的面积的最小值为3．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，
P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，$\frac{3}{2}$）时，△PF₁F₂的面积为$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×2c×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得c=1，
又∵2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
证明：（Ⅱ）（i）由题意直线l的斜率存在，设直线l为：y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
化简，得m²=3+4k²，
R（-2，-2k+m），T（2，2k+m），
由对称性，知定点M在x轴上，
设M（x，0），M在RT为直线的圆上，∴MR⊥MT，
∴$\overrightarrow{MR}•\overrightarrow{MT}$=（-2-x）（2-x）+（-2k+m）（2k+m）=x²-4+m²-4k²=0，
解得x=±1，
∴定点M即为左右焦点F₁，F₂，其坐标为（±1，0）．
解：（ii）由图形的对称性，不妨取M为右焦点F₂（1，0），
点P在x轴上方，
S_△RTM=S_{四边形ABTR}-S_△BDA=2（m+k），
令m+k=t，则m=t-k，代入m²=3+4k²，
得3k²+2tk+3-t²=0，
△=4（4t²-9）≥0，
∵t＞0，∴t≥$\frac{3}{2}$，S_△RDA≥3，
当m=2，k=-$\frac{1}{2}$时，取等号，
故△RTM的面积的最小值为3．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查圆过定点的证明及定点坐标的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、椭圆对称性，向量数量积的合理运用．