Question

19．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，P为椭圆C上的点，在△PF₁F₂中，点Q满足$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=4$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，∠F₁PF₂=∠QF₂F₁，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　）

• A． 0＜e＜$\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$＜e＜$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$＜e＜1
• D． 0＜e＜$\frac{1}{5}$或$\frac{1}{3}$＜e＜1

Answer 1

分析 由题意可设|F₁Q|=t，|F₁P|=4t，运用三角形相似的判断和性质，可得t=c，由椭圆的性质可得a-c＜|F₁P|＜a+c，运用离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：由点Q满足$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=4$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，
设|F₁Q|=t，|F₁P|=4t，
在△F₁PF₂和△F₁F₂Q中，∠F₁PF₂=∠QF₂F₁，∠PF₁F₂=∠F₂F₁Q，
可得△F₁PF₂∽△F₁F₂Q，即有：
$\frac{{F}_{1}P}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{{F}_{1}Q}$，即$\frac{4t}{2c}$=$\frac{2c}{t}$，
可得t=c，由a-c＜|F₁P|＜a+c，
可得a-c＜4c＜a+c，
即为a＜5c且a＞3c，
由e=$\frac{c}{a}$可得$\frac{1}{5}$＜e＜$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用三角形相似的性质，以及椭圆的点到焦点的距离的最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．