Question

11．人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40，45），第2组[45，50），第3组[50，55），第4组[55，60），第5组[60，65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1：3，第3组的频数为90．
（Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；
（Ⅱ）用这些样本数据估计全市高二学生（学生数众多）的体重．若从全市高二学生中任选5人，设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第2组、第3组的频率分别为p₂，p₃，先求出p₃，由此能求出n，由p₂+0.375+（0.025+0.013+0.037）×5=1，求出p₂，由此能求出该校抽查的学生总人数和从左到右第2组的频率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：体重不低于55公斤的学生的概率为$\frac{1}{4}$，X服从二项分布$X～B（5，\frac{1}{4}）$，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第2组、第3组的频率分别为p₂，p₃，
则p₃=0.025×3×5=0.375，所以$n=\frac{90}{p_3}=240$，（3分）
由p₂+0.375+（0.025+0.013+0.037）×5=1，解得p₂=0.25，
所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：体重不低于55公斤的学生的概率为$p=（0.013+0.037）×5=\frac{1}{4}$，（8分）
X服从二项分布$X～B（5，\frac{1}{4}）$，$p（X=k）=C_5^k{（\frac{1}{4}）^k}{（\frac{3}{4}）^{5-k}}$，k=0，1，2，3，4，5，（9分）
P（X=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{3}{4}）^{5}=\frac{243}{1024}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{4}=\frac{405}{1024}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{270}{1024}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{90}{1024}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}（\frac{3}{4}）$=$\frac{15}{1024}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{4}）^{5}$=$\frac{1}{1024}$，
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{243}{1024}$	$\frac{405}{1024}$	$\frac{270}{1024}$	$\frac{90}{1024}$	$\frac{15}{1024}$	$\frac{1}{1024}$

（10分）
则$EX=5×\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．