Question

1．a∈R，设函数f（x）=（-x²+ax）e^-x，x∈R．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若x∈（-1，1）内单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，f（x）=（-x²-2x）e^-x，则f′（x）=（x²-2）e^-x，解f′（x）＜0，可得函数f（x）的单调减区间；
（2）若x∈（-1，1）内单调递减，则x∈（-1，1）时，f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x＜0恒成立，即x²-（a+2）x+a＜0恒成立，进而得到答案．

解答 解：（1）当a=-2时，f（x）=（-x²-2x）e^-x，
则f′（x）=（x²-2）e^-x，
令f′（x）＜0得，x∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
故函数f（x）的单调减区间为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
（2）∵函数f（x）=（-x²+ax）e^-x，
∴f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，
若x∈（-1，1）内单调递减，
则x∈（-1，1）时，x²-（a+2）x+a＜0恒成立，
令g（x）=x²-（a+2）x+a，
则g（1）=-1，
故g（-1）≤0，
即1+a+2+a≤0，
解得：a∈（-∞，$-\frac{3}{2}$]

点评 本题考查的知识点是利用导函数研究函数的单调性，转化思想，恒成立问题，难度中档．