Question

3．已知等比数列{a_n}的首项a₁=8，公比为q（q≠1），S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若S₃，2S₄，3S₅成等差数列，求{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=log₂a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，若T₃是数列{T_n}中的唯一最大项，求的q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知S₃+3S₅=2•2S₄，从而可得$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{3}$，从而求得a_n=8•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{8}{{3}^{n-1}}$；
（2）化简b_n=log₂a_n=3-log₂q+nlog₂q，从而由等差数列的性质可得b₃＞0，b₄＜0，从而解得．

解答 解：（1）∵S₃，2S₄，3S₅成等差数列，
∴S₃+3S₅=2•2S₄，
∴3（a₄+a₅）=4a₄，
∴$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{3}$，
故等比数列{a_n}的首项为8，公比为$\frac{1}{3}$，
故a_n=8•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{8}{{3}^{n-1}}$；
（2）b_n=log₂a_n=log₂（8•q^n-1）=3-log₂q+nlog₂q，
∵T₃是数列{T_n}中的唯一最大项，
∴b₃=3-log₂q+3log₂q＞0，b₄=3-log₂q+4log₂q＜0，
∴-$\frac{3}{2}$＜log₂q＜-1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜q＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用，同时考查了方程思想与转化思想的应用．