Question

16．已知函数f（x）=x（1-a|x|）．
（1）当a＞0时，关于x的方程f（x）=a有三个相异实根x₁，x₂，x₃，设x₁＜x₂＜x₃，求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}}$的取值范围；
（2）当a≤1时，f（x）在[-1，1]上的最大值为M，最小值为m，若M-m=4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x∈（-∞，0]}\\{-a{x}^{2}+x，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，作其图象，从而利用数形结合求解得a∈（0，$\frac{1}{2}$）；从而可得x₂+x₃=$\frac{1}{a}$，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+4{a}^{2}}}{2a}$，从而求得；
（2）显然，f（x）为R上的奇函数，从而可得M=2，再分类讨论求最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x∈（-∞，0]}\\{-a{x}^{2}+x，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，
当a＞0时，其图象如右图所示，
∵直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，
∴f（$\frac{1}{2a}$）＞a＞0，即$\frac{1}{4a}$＞a＞0，
解得，a∈（0，$\frac{1}{2}$）；
其次，由韦达定理及求根公式可得，
x₂+x₃=$\frac{1}{a}$，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+4{a}^{2}}}{2a}$，
从而可得，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}}$=-$\frac{\sqrt{1+4{a}^{2}}+1}{2}$，
注意到a∈（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}}$∈（-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）．
（2）显然，f（x）为R上的奇函数，
∴M-m=2M=4，
当a=0时，经检验不符合题意，舍去；
当a＜0时，函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
故M=f（1）=1-a=2，
故a=-1；
当a＞0时，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2a}$）和（$\frac{1}{2a}$，+∞）上单调递减，
在（-$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}$）上单调递增；
①当$\frac{1}{2a}$≥1，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）[-1，1]上单调递增，
可解得a=-1（舍去），
②当$\frac{1}{2a}$＜1，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x）在[-1，1]上的最大值为f（$\frac{1}{2a}$）=$\frac{1}{4a}$=2，
解得，a=$\frac{1}{8}$（舍去）；
综上所述，a=-1．

点评 本题考查了分类讨论的思想与数形结合的思想应用，属于中档题．