Question

17．从某山区养殖场散养的3500头猪中随机抽取5头，测量猪的体长x（cm）和体重y（kg），得如下测量数据：

猪编号	1	2	3	4	5
x	169	181	166	185	180
y	95	100	97	103	101

（1）当且仅当x，y满足：x≥180且y≥100时，该猪为优等品，用上述样本数据估计山区养殖场散养的3500头猪中优等品的数量；
（2）从抽取的上述5头猪中，随机抽取2头中优等品数x的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知随机抽取的5头猪中，优等品有3头，由此能估计山区养殖场散养的3500头猪中优等品的数量．
（2）抽取的5头猪中，优等品有3头，非优等品有2头，随机抽取2头中优等品数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由已知随机抽取的5头猪中，优等品有3头，
∴估计山区养殖场散养的3500头猪中优等品的数量为：
3500×$\frac{3}{5}$=2100（头）．
（2）∵抽取的5头猪中，优等品有3头，非优等品有2头，
∴随机抽取2头中优等品数X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{6}{10}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查概率的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．