Question

8．已知函数f（x）=|x-3|．
（Ⅰ）若不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判断$\frac{f（ab）}{|a|}$与$f（\frac{b}{a}）$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出f（x-1）+f（x）的最小值，从而求出a的范围；（Ⅱ）根据分析法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x-1）+f（x）=|x-4|+|x-3|≥|x-4+3-x|=1，
不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集为空集，
则1≥a即可，所以实数a的取值范围是（-∞，1]．…（5分）
（Ⅱ）$\frac{f（ab）}{|a|}＞f（\frac{b}{a}）$，
证明：要证$\frac{f（ab）}{|a|}＞f（\frac{b}{a}）$，
只需证|ab-3|＞|b-3a|，
即证（ab-3）²＞（b-3a）²，
又（ab-3）²-（b-3a）²=a²b²-9a²-b²+9=（a²-1）（b²-9）．
因为|a|＜1，|b|＜3，
所以（ab-3）²-（b-3a）²＞0，
所以原不等式成立．…（10分）

点评 本题考查了绝对值的几何意义，考查不等式的大小比较，是一道中档题．