Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，E，F分别为棱AD、，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面C₁BD；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面C₁BD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，证明EF∥BD，再利用线面平行的判定定理证明EF∥平面C₁BD；
（Ⅱ）证明BD⊥平面CAA₁C₁，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面CAA₁C₁⊥平面C₁BD．

解答： 证明：（Ⅰ）∵E，F分别为AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD…（3分）
又∵EF?面C₁BD，BD?面C₁BD…（4分）
∴EF∥面C₁BD…（5分）
（Ⅱ）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥面ABCD，
∵BD?面ABCD，∴AA₁⊥BD…（7分）
∵AC⊥BD，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面CAA₁C₁，
∵BD?平面C₁BD，
∴平面CAA₁C₁⊥平面C₁BD．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，（Ⅰ）中的关键是证明EF∥BD，（Ⅱ）中的关键是证明BD⊥平面CAA₁C₁．