Question

已知函数f（x），对任意x∈R，有f（x-2）=

1

2

f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=1-（x-1）²．
①若函数g（x）=lnx，则函数h（x）=f（x）-g（x）的区间（0，4]上有3个零点；
②若函数g（x）=

f(x)，0≤x≤4 |2x-1|，x＜0

，函数h（x）=g（x）+ax有2个零点，则a＞0或a＜-

2

3

；
③若函数h（x）=f（x）-a在区间（-2，4）有4个零点，则a范围是（

1

2

，1）；
④若函数g（x）=

f(x)

x

-a有3个零点，则a的范围是（

-3+2 2

2

，

-5+ 23

4

）∪（0，12-8

2

）；
以上正确的命题有

 

（写出所有正确的序号）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：作出y=lnx和y=f（x）（0＜x＜4）的图象，观察有3个交点，即可判断①；
画出y=f（x）（0≤x≤4）和y=|2^x-1|（x＜0）的图象，以及直线y=-ax，讨论a＞0的交点情况，即可判断②；
画出y=a和y=f（x）在（-2，4）的图象，通过图象观察得到4个零点时a的范围，即可判断③；
画出y=f（x）和直线y=ax的图象，通过图象观察，当x＞0时，由于f（x）不存在最大值，故不可能有三个交点即可判断④．

解答： 解：对于①，当2＜x≤4时，0＜x-2≤2，
f（x-2）=1-（x-3）²=

1

2

f（x），
则f（x）=2[1-（x-3）²]（2＜x≤4）
作出y=lnx和y=f（x）（0＜x＜4）的图象，
观察有3个交点，故①对；
对于②，画出y=f（x）（0≤x≤4）
和y=|2^x-1|（x＜0）的图象，以及直线y=-ax，
当a＞0时，-a＜0，当直线与y=|2^x-1|的图象相切时，只有一个零点，故②错；
对于③，令-2＜x＜0，则0＜x+2＜2，
则f（x+2）=1-（x+1）²=2f（x），
则有f（x）=

1

2

[1-（x+1）²]，
（-2＜x＜0），画出y=a和y=f（x）在
（-2，4）的图象，由图象观察，
得

1

2

＜a＜1时，有4个交点即4个零点，
故③对；
对于④，画出y=f（x）和直线y=ax的图象，通过图象观察，当x＞0时，由于f（x）不存在最大值，故不可能有三个交点，故④错．
故答案为：①③

点评：本题考查函数的零点问题，考查数形结合的思想方法，考查函数方程的转化思想，考查判断能力，属于中档题．