Question

已知函数f（x）=x²+（k-3）x+2-k．
（1）证明：函数f（x）至少有一个零点；
（2）对任意k∈[-1，1]，f（x）恒大于零，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令f（x）=0，得到判别式大于等于0，从而得到结论；（2）令g（k）=（x-1）k+x²-3x+2，通过讨论x的范围，得到不等式组，解出即可．

解答： 证明：（1）令x²+（k-3）x+2-k=0，
∵△=（k-1）²≥0，
∴函数f（x）至少有一个零点．                 　　　　　  
（2）令g（k）=（x-1）k+x²-3x+2，
当x=1时，g（k）=0，不满足条件，舍去，
当x≠1时，由题意得

g(-1)＞0 g(1)＞0

，
即

x2-4x+3＞0 x2-2x+1＞0

，
解得：x＞3或x＜1，
综上所述：满足条件的x的取值范围为：{x|x＞3或x＜1}．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查了二次函数的性质，是一道基础题．