Question

（本小题12分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，

它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线与椭圆C交于两点，那么椭圆C的右焦点是否可以成为的垂心？若可以，求出直线的方程；若不可以，请说明理由.（注: 垂心是三角形三条高线的交点）

Answer 1

（1）；（2）可以， .

【解析】

试题分析：（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，1），可得c=1．再利用，即可得出．

（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．设，利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．

试题解析：（1）设椭圆方程为，

抛物线x2=4y的焦点为（0，1），

由，

∴椭圆方程为．

（2）假设存在直线，使得点F是△BMN的垂心．

易知直线BF的斜率为﹣1，从而直线的斜率为1．

设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．

设，

则，．

于是

，

解之得m=1或m=﹣．

当m=1时，点B即为直线与椭圆的交点，不合题意；

当m=﹣时，经检验符合题意．

∴当且仅当直线的方程为时，点F是△BMN的垂心．

考点：椭圆与抛物线的标准方程及其性质；三角形垂心的性质；相互垂直的直线斜率之间的关系；直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系；向量垂直与数量积的关系；推理能力与计算能力.