Question

15．已知函数f（x）是定义在[a-1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f（x-1）＞f（a）的解集为[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 根据偶函数的性质求得a的值，再根据当x＞0时，f（x）单调递增，可得函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，故由不等式可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜-a或x-1＞a}\\{-\frac{2}{3}≤x-1≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，由此求得x的范围．

解答 解：∵函数f（x）是定义在[a-1，2a]上的偶函数，
∴a-1+2a=0，求得a=$\frac{1}{3}$，故函数的定义域为[-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]．
∵当x＞0时，f（x）单调递增，故函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．
由关于x的不等式f（x-1）＞f（a），可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜-a或x-1＞a}\\{-\frac{2}{3}≤x-1≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，求得$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{2}{3}$，或$\frac{4}{3}$＜x≤$\frac{5}{3}$，
故不等式f（x-1）＞f（a）的解集为[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$]，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$]．

点评 本题主要考查函数的定义域，函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．