Question

20．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），且a₁=2．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，两边同除以a_n+1，即可说新数列是等比数列．
（2）利用等比数列求出通项公式，然后利用数列求和公式求解即可．

解答 解：（1）证明：∵$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=\frac{{3{a_n}+3}}{{{a_n}+1}}=3$，a₁+1=3，
∴{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）由（1）可得${a_n}+1={3^n}$，
∴${a_n}={3^n}-1$，${S_n}=\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-n=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}-n$．

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力．