Question

13．求下列函数的最小正周期、递增区间及最大值．
（1）y=sin2xcos2x；
（2）y=2cos²$\frac{x}{2}$+1；
（3）y=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式化简解析式可得y=$\frac{1}{2}$sin4x，利用正弦函数的图象和性质即可求最小正周期、递增区间及最大值．
（2）由倍角公式化简解析式可得y=cosx+2；利用余弦函数的图象和性质即可求最小正周期、递增区间及最大值．
（3）由两角和的正弦函数公式化简解析式可得y=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）．利用正弦函数的图象和性质即可求最小正周期、递增区间及最大值．

解答 解：（1）∵y=sin2xcos2x=$\frac{1}{2}$sin4x，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值为$\frac{1}{2}$，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调递增区间为：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调递减区间为：[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z
（2）∵y=2cos²$\frac{x}{2}$+1=cosx+2；
∴最小正周期T=2π，最大值为3，
函数的单调递增区间为：[2kπ-π，2kπ]，k∈Z，函数的单调递减区间为：[2kπ，2kπ+π]，k∈Z
（3）∵y=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值为2，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调递增区间为：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{5π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$]，k∈Z
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调递减区间为：[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{24}$]，k∈Z

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．