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(本小题13分)已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线与曲线E交于A、B两点。如果且曲线E上存在点C,使.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)求AB的直线方程;
(Ⅲ)求的值.
(Ⅰ);(Ⅱ)。(Ⅲ)
本试题主要是考查了双曲线方程的求解,以及直线与双曲线的位置关系的综合运用。结合韦达定理和弦长公式,以及向量的坐标关系式,得到参数的求解。
(1)根据双曲线的定义可以得到双曲线的方程的求解。
(2)联立方程组,得到相交弦的长度以及韦达定理得到直线的方程。
(3)根据,得到坐标关系式,结合上一问的结论,可知参数m的等式,得到结论。
解:(Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,且,易知

故曲线的方程为……….4分
(Ⅱ) 设,由题意建立方程组
消去,得
又已知直线与双曲线左支交于两点,有
      解得……….6分
又∵

依题意得    整理后得
 但  ∴
故直线的方程为……….9分
(Ⅲ)设,由已知,得


∴点 将点的坐标代入曲线的方程,得 
,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴,…13分
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