本试题主要是考查了双曲线方程的求解,以及直线与双曲线的位置关系的综合运用。结合韦达定理和弦长公式,以及向量的坐标关系式,得到参数的求解。
(1)根据双曲线的定义可以得到双曲线的方程的求解。
(2)联立方程组,得到相交弦的长度以及韦达定理得到直线的方程。
(3)根据
,得到坐标关系式,结合上一问的结论,可知参数m的等式,得到结论。
解:(Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线
是以
为焦点的双曲线的左支,且
,易知
故曲线
的方程为
……….4分
(Ⅱ) 设
,由题意建立方程组
消去
,得
又已知直线与双曲线左支交于两点
,有
解得
……….6分
又∵
依题意得
整理后得
∴
或
但
∴
故直线
的方程为
……….9分
(Ⅲ)设
,由已知
,得
∴
,
又
,
∴点
将点
的坐标代入曲线
的方程,得
得
,但当
时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴
,…13分