Question

【题目】设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

（1）讨论f(x) 的单调性；

（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，对求导，对a进行讨论，判断函数的单调性；第二问，利用导数判断函数的单调性，判断最值，证明结论，第三问，构造函数= （），利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，从而证明结论.

试题解析：（Ⅰ）

＜0，在内单调递减.

由=0，有.

当 时，＜0，单调递减；

当 时，＞0，单调递增.

（Ⅱ）令=，则=.

当时，＞0，所以，从而=＞0.

（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.

当，时，=.

故当＞在区间内恒成立时，必有.

当时，＞1.

由（Ⅰ）有,从而，

所以此时＞在区间内不恒成立.

当时，令= （）.

当时，= .

因此在区间单调递增.

又因为=0，所以当时，= ＞0，即＞恒成立.

综上， .