Question

【题目】已知△ABC是锐角三角形，cos22A+sin2A=1.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若BC=1，B=x，求△ABC的周长f（x）的单调区间.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 单调增区间是（0，]，单调减区间是[，）.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由已知cos22A+sin2A=1，把左边的一项移到右边，应用同角关系式化简，再用二倍角公式变形，可求得A角；(Ⅱ)由正弦定理求出另两边长，得周长，由两角和的正弦公式化为一个三角函数形式，再由正弦函数的单调性可得单调区间，求解时要注意函数的定义域.

试题解析：(Ⅰ)∵cos22A+sin2A=1，

∴cos22A=cos2A∴cos2A=±cosA，∴2cos2A﹣1±cosA=0，

∵△ABC是锐角三角形，∴cosA=，∴A=.

(Ⅱ)∵BC=1，B=x，

∴AC=sinx，AB=cosx+sinx，

∴△ABC的周长f（x）=1+cosx+sinx=1+2sin（x+），

∴当﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，（k∈Z）时，x∈[﹣+2kπ， +2kπ]，

∵x∈（0，）∴f（x）的单调增区间是（0，]，单调减区间是[，）.