Question

【题目】已知在数列{an}中，Sn为其前n项和，若an＞0，且4Sn=an2+2an+1（n∈N*），数列{bn}为等比数列，公比q＞1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差数列．

（1）求{an}与{bn}的通项公式；

（2）令cn= ，若{cn}的前项和为Tn，求证：Tn＜6．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据得递推关系，化简得 ，根据等差数列定义及通项公式得 ，由待定系数法求数列{bn}公比为2，再根据等比数列通项公式求bn=2n-1（2）利用错位相减法求和 ，再证结论；利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以

试题解析：解：（1）由4Sn=an2+2an+1（n∈N*），n=1时，4a1=+2a1+1，解得a1=1．

n≥2时，4Sn-1=+2an-1+1，相减可得：4an=-，化为：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

又an＞0，∴an-an-1-2=0，即an-an-1=2，

∴数列{an}是等差数列，公差为2． ∴an=1+2（n-1）=2n-1．

b1=a1=1，∵2b2，b4，3b3成等差数列．

∴2b4=2b2+3b3．∴=2b2+3b2q，化为：2q2-3q-2=0，q＞1，解得q=2．

∴bn=2n-1．

（2）证明：cn==．

{cn}的前项和为Tn=1++…+， Tn=+…++，

∴Tn=1+2-=1+2×-，

∴Tn=6-＜6．