Question

【题目】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求三棱锥B-EFC的体积；

（3）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2） （3）

【解析】试题分析：（1）取PD中点G，利用平几知识可得EFGA是平行四边形，即得EF∥AG，再根据线面平行判定定理得结论，（2）求体积关键在求高：取AD中点O，由面面垂直性质定理可得PO⊥面ABCD，即得高为PO一半，再代入锥体体积公式得体积，（3）求二面角关键在作出二面角的平面角，连OB交CE于M，由平几知识可得OM⊥EC．再利用三垂线定理可得PM⊥EC，即得∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，最后再直角三角形中求∠PMO的正切值即可.

试题解析：

（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，

∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，

又EF面PAD，AG面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）解：取AD中点O，连结PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，

故；

（3）解：连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在Rt△EBC中，，∴，

∴，即二面角P-EC-D的正切值为．