【题目】已知函数.
(1)记,求证:函数在区间内有且仅有一个零点;
(2)用表示中的最小值,设函数,若关于的方程(其中为常数)在区间有两个不相等的实根,记在内的零点为,试证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出函数的导数,通过解关于导函数的不等式,得到函数的单调性,结合零点存在定理证出结论即可;(2)问题转化为证明,根据在上递减,即证明,根据函数的单调性证明即可.
试题解析:(1)证明:,
显然当时,,故在上单调递增,
而,所以由零点存在定理知,
必存在唯一,使得,
即函数在区间内有且仅有一个零点.
(2)由(1)问可知,且时,,时,
因此,
其中满足即,(事实上),
而时,,时,,
因此在,若方程在区间有两个不相等的实根,
,则必有,
所证,因为在单调递减,
所以只需证,而,所以只需证,
即证明:,
构造函数,,
发现,,
下证明时,恒成立,
考查函数,所以在,
所以一定有,
因此,时,,
即在,所以时,即成立了.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的一边AB在x轴上,另一边CD在x轴上方,且AB=8,BC=6,其中A(-4,0)、B(4,0)
(1)若A、B为椭圆的焦点,且椭圆经过C、D两点,求该椭圆的方程;
(2)若A、B为双曲线的焦点,且双曲线经过C、D两点,求双曲线的方程;
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【题目】已知圆,直线.
(1)若直线与圆交于不同的两点,当时,求的值.
(2)若是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点;
(3)若为圆的两条相互垂直的弦,垂足为,求四边形的面积的最大值.
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【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是棱长为2的正方形,侧面PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分别为棱AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥B-EFC的体积;
(3)求二面角P-EC-D的正切值.
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【题目】某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当时,曲线是二次函数图象的一部分,当时,曲线是函数图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数大于80时学习效果最佳.
(1)试求的函数关系式;
(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
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【题目】某地为制定初中七、八、九年级学生校服的生产计划,有关部门准备对180名初中男生的身高作调查.
(1)为了达到估计该地初中三个年级男生身高分布的目的,你认为采用怎样的调查方案比较合理?
(2)表中的数据是使用了某种调查方法获得的:七、八、九年级180名男生身高:
注:表中每组可含最低值,不含最高值.
根据表中的数据,请你给校服生产厂家指定一份生产计划思路.
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【题目】如下图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面,,,分别是,的中点.
(I)证明:平面;
(II)取,在线段上是否存在点,使得与平面所成最大角的正切值为,若存在,请求出点的位置;若不存在,请说明理由.
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