Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

Answer 1

【答案】(1) 当时，在单调递增，当时，在单调递减，当时，在单调递增，在单调递减；(2)；(3)证明见解析．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想分类讨论；（2）借助题设构设函数,运用导数知识求解；(3)依据题设构设函数,建立不等式运用导数的知识分析推证．

试题解析：

（1）的定义域为，……2分

当时，，故在单调递增；

当时，，故在单调递减；………………4分

当时，令，解得．

则当时，；时，．

故在单调递增，在单调递减．……6分

（2）因为，所以：

当时，恒成立，

令，则，……………………8分

因为，由得，

且当时，；当时，．

所以在上递增，在上递减，所以，

故．…………………………10分

(3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得．